1998-99/I

IV. MAT. TANÁRI SZAK ANALÍZIS FAKULTÁCIÓS BLOKK Vizsga Tételek

1. Cousin-lemma. Heine–Borel tétel.

2. Seholse sűrű, I. és II. kategóriás halmazok. Baire kategória tétel R-en.

3. Baire 1 függvények. Pontbeli oszcilláció. Nyílt, zárt, F_{σ} és G_{δ} halmazok. R-beli nyílt halmazok karakterizációja.

4. Baire 1 függvények szakadási pontjai.

5. Mérték és kategória összehasonlítása.

6. Lebesgue-kritérium a Riemann-integrálhatóságra.

7. Metrikus terek I. Minkowski-metrikák. Sorozat-terek. Cantor tér. ℓ_{p}.

8. Metrikus terek II. Függvényterek. Kompakt halmazok terei. További példák.

9. Metrikus terek közötti folytonos leképezések. Távolságfüggvény folytonossága. Uriszon lemma.

10. Tietze-tétele és a hozzá szükséges lemma.

11. Szeparábilis terek, példa nem szeparábilis térre. Teljes terek. Teljes alterek. C[a, b] teljessége.

12. Banach-fixponttétel és alkalmazása: Picard tétel.

13. Baire-kategória tétel metrikus terekben. Tipikus tulajdonságok. A tipikus f ∈ C[a, b] seholse monoton.

14. A tipikus folytonos függvény nem monoton-típusú, és így seholsem differenciálható.

15. Banach–Mazur játék. Nyerő stratégiák.

16. Halmazalgebrák. σ-algebrák, Borel halmazok. Monoton halmazosztályok és σalgebrák.

17. (∏_{i=1}^{∞} X_{i}, ϱ). Teljesség, szeparábilitás és végtelen szorzat.

18. A Baire-tér és ennek tulajdonságai.

19. Lánctörtek I. Véges lánctörtek.

20. Lánctörtek II. Végtelen lánctörtek.

A vizsgán két tételt kell kidolgozni. A vizsga közben továbbra is mindenkitől fogok a kihúzott tételek anyagához nem tartozó anyagrészekre vontakozó villámkérdéseket kérdezni.

A vizsga közben csak összefirkálatlan tételjegyzék használható (sillabusz, puska, jegyzet stb. nem).